提升 LLM 数学能力的新方法来了 ——

一个大模型不行，那就两个。让他们彼此合作，纠正对方的错误。

这就是来自加州大学和微软研究院的最新研究成果：Flow-DPO 。通过使用在线学习流（Flow）和直接偏好优化（DPO, Direct Preference Optimization），可以让 LLM 生成更加详细和精确的推理轨迹。

同时，这种在线多智能体（Agent）的学习形式还能挖掘数据中的深层信息，有效避免了人类标注数据不够准确的问题。

我们先一起看个例子感受一下。

比如针对下面这道题：

方程 x + 2y + 3 = 0 的图与方程 ax + 2y + 3 = 0 的图互相垂直。请问 ax + 2y + 3 = 0 中，a 的值是多少？

基准回答是这样的：

方程 x + 2y + 3 = 0 的图形的斜率为 -1/2，因为图形垂直，所以 ax + 2y + 3 = 0 的图形的斜率必须是 x + 2y + 3 = 0 的负倒数。因此，方程 ax + 2y + 3 = 0 的斜率为 2，改写为 2y = -ax - 3，然后两边除以 2，得到 y = -a / 2x-3/2。将此与斜率截距形式 y = mx + b 相比，我们发现斜率 m 为 -a / 2。由于我们知道斜率为 2，所以 - a / 2= 2。将两边乘以 -2，得到 a = -4，答案为：-4。

而 Flow-DPO 的回答是这样的：

要解决这个问题，我们需要了解线性方程中垂直线的概念。当两条直线垂直时，它们的斜率互为负倒数。让我们以斜率-截距形式复述给定方程 x + 2y + 3 = O，即 y = -1/2x - 3/2。这告诉我们直线的斜率是 - 1/2。现在，我们需要找出方程 ax + 2y + 3 = 0 所表示的直线的斜率。我们可以将方程改写成斜率-截距形式，即 y = -a / 2x - 3/2。这告诉我们这条直线的斜率是-a / 2。由于两条直线垂直，因此它们的斜率互为负倒数。这意味着 -1/2 * (-a / 2) = 1，简化为 a = -4。因此，a 的值为 -4。

让 GTP-4o 当裁判，针对两个模型的回答分析了一下，它认为答案 B（FLow-DPO）更好，原因有两点：

答案 A 的回答是：“我们可以利用斜率之间的负倒数关系来求解 a”。答案 B 花时间明确解释了垂直的概念，强调垂直线的斜率是负倒数。这种回答更有教育意义，可以让读者理解数学背后的推理。

答案 A 推导出了正确的方程并正确地求解了方程，但引入了一些不必要的步骤。

例如，中间步骤涉及将方程改写为 2y = -ax - 3 和两边除以 2 的中间步骤比必要的步骤复杂。

答案 B 立即使用两个方程的斜截距形式简化了方法。它有效地解释了如何提取斜率，并直接比较了两个等式的斜率，过程更直接，更容易理解。

答案 B 的解释更清晰、更透彻，既注重概念和公式，又避免了不必要的复杂性，这种循序渐进的方法更易于理解和掌握。

可以看到，在解决真实数学问题的时候，Flow-DPO 生成的推理过程不仅有更详细的指导，还避免了不必要的复杂性，增强了可读性和理解性。

这是怎么做到的呢？

针对 LLM 解决数学问题时反馈信息有限、标注数据质量不高等问题，团队提出了一种新的方法。

那就是通过在线学习流（Flow）和直接偏好优化（DPO）学习来生成高质量的推理轨迹。

Flow-DPO 采用了增量输出生成 Flow，其中有两个独立的 LLM（Answer LLM 和 Stop LLM）协同工作，通过迭代通信构建解决方案。

具体来说，Answer LLM 一次会生成一个有限的答案块，而 Stop LLM 则判断部分答案是否达到最终状态，两个 LLM 通过迭代式学习不断进步。

Answer LLM 和 Stop LLM 的底层都是相同的基础模型，但它们使用不同的 LoRA 适配器进行了微调，可以专门完成各自的任务。

而且在训练过程中，Flow-DPO 可实现更精细的控制较小的块大小，灵活适应不同的概念和方法，较大的块大小近似于单次模型生成。

Flow-DPO 还会通过在线 DPO 学习和回滚来增强 Flow。

对于每个输入问题，Answer LLM 会生成一个答案片段，一直持续到产生完整的回答。

然后模型会在每个输出节点进行随机展开，比如在生成初始答案片段且 Stop LLM 判断为“否”后，Flow 还会生成另一个答案片段，基于之前的部分答案继续构建。

如果两个答案在正确性上不同，就把它们作为答案语言模型的 DPO 对，引导到正确答案的那个片段被选为首选响应。

为了验证 Flow-DPO 的性能，研究团队还设计了精密的验证实验，具体设置如下

数据集：实验使用了 metaMath 数据集，该数据集基于于 GSM8K 和 MATH 数据集，并通过数据增强技术进行了增强。

模型选择：实验采用了两种不同规模的模型：Llama-3-8B-Instruct 和 Phi-3-medium-128k-instruct (14B)

Flow 学习阶段：在 Flow 学习阶段，团队使用不同的 LoRA 适配器对 Answer LLM 和 Stop LLM 进行微调，让它们在 DPO 训练中的能力更加专业。

编译阶段：在编译阶段，收集 Flow 生成的正确推理轨迹和基线模型生成的正确推理轨迹，进行独立评估。

最终结果显示，使用了 Flow-DPO 之后，Llama3 模型和 Phi3 在数学推理上的能力都大幅提升了！

一起来看看具体结果分析：

渐进验证准确率的准确定义，是模型在训练前对输入训练数据的累积准确度，公式和变量含义如下图所示：

实验结果显示，在线 DPO 训练显著提高了 Flow 的泛化能力。

对于 Llama-3-8B-Instruc 模型，在线 DPO 学习在仅 2000 个训练实例内将 Flow 的性能提高了 20%。对于 Phi-3-medium-128k-instruct 模型，在线 DPO 学习使其准确率提高了 4 个百分点，达到了 83%.

Flow 生成的推理轨迹在质量上也优于基线和模型生成的正确推理轨迹。

对于 Llama-3-8B-Instruct 模型，Flow 生成的推理轨迹在 GSM8K 和 MATH 数据集上的微调准确率分别提高了 6% 和 7.8%。

对于 Phi-3-medium-128k-instruct 模型，Flow 生成的推理轨迹在两个数据集上的微调准确率分别提高了 1.9% 和 2.1%.

除了刚开始的垂直直线问题，研究团队还放出了很多真实的解题回答和对比，感兴趣的朋友可以查看论文的更多相关信息。

没想到，不久前还让 LLM 非常头疼的数学问题现在也进步飞快！

有了优秀的逻辑分析能力，我们也能期待 LLM 未来能解决更多复杂的问题了。

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